z' = a z barre + b

La transformation f du plan associée à z'=az barre+b (avec |a| = 1) est la composée d'une symétrie axiale et d'une translation.
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Ici a+b = 0.

Déplacer D et E et modifier le vecteur v afin que A2B2C2 et A3B3C3 coïncident ; on doit même y arriver avec un vecteur nul.

Soit M (z), M (z') son image par f et M (z") l'image de M (z') par f on montre alors que z" = z + a+ b. 

On peut alors envisager deux cas : 

• a+b = 0.

f est involutive, c'est une symétrie axiale passant par le point d'affixe b / 2.

 • a+b ¹ 0.

f = t o s où t est une translation de vecteur d'affixe (a+b ) / 2 et s une symétrie axiale.